% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet1-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=nouvcal2025j1exo3.py]
from math import exp

def suite() :
	u = ...
	for n in range(1, ...) :
		u = ...
	return u
\end{scontents}
On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_n(x) = x^n\,\e^{1-x}.\]
%
On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\IntervalleFF{0}{1}$ et on note $f_n'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie le cas où $n = 1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_1(x) = x\,\e^{1-x}.\]
%
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f_1'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{1}$.
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
	\item En déduire que l'équation $f_1(x) = 0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
\[ u_n = \int_0^1 f_n(x) \dx \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_n = \int_0^1 x^n\,\e^{1-x} \dx.\]
%
On admet que $u_1 = \e - 2$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x \in \IntervalleFF{0}{1}$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,%
		\[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n. \]
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,%
		\[ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
		\item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est convergente.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :%
		\[ u_{n+1} = (n+1) u_n - 1.\]
		\item On considère le script \textsf{Python} ci-dessous définissant la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} :
		
		\CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{nouvcal2025j1exo3.py}
	
		Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessus pour que la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8\,\e^{1-x} \dx$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :%
		\[ u_n \leqslant \frac{\e}{n+1}.\]
		\item En déduire la limite de la suite $\Suite{u}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


