% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet1-exo4.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}, en \textbf{justifiant} la réponse.\\Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.\\Une absence de réponse n’enlève pas de points.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par :%
	\[ f(x) = \ln(x) - x^2.\]
	
	\textbf{Affirmation 1} : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
	
	\medskip
	\item On considère l'équation différentielle $(E)~:~-2 y' + 3 y = \sin(x) + 8\cos(x)$.
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
	\[ f(x) = 2 \cos(x) - \sin(x).\]
	
	\textbf{Affirmation 2} : La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	
	\medskip
	\item On considère la fonction $g$, définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par :
	\[ g(x) = \ln(3x + 1) + 8.\]
	%
	On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 25$ et pour tout entier naturel $n$,%
	\[ u_{n+1} = g\big(u_n\big).\]
	
	On admet que la suite $\Suite{u}$ est strictement positive.
	
	\textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{u}$ est décroissante.
	
	\medskip
	\item On considère une fonction affine $h$ définie sur $\R$.
	
	On note $k$ la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$.
	
	\textbf{Affirmation 4} : La fonction $k$ est convexe sur $\R$.
	
	\medskip
	\item Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.
	
	Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.
	
	\textbf{Affirmation 5} : Le mot EULER possède 120 anagrammes.
\end{enumerate}
