% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet2-exo3.tex
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[ f(x)=\ln \left(\e^{\frac{x}{2}}+2\right). \]
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On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

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On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_{0}=\ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=f\big(u_{n}\big). \]

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
	\item Montrer que $f\big(2 \ln (2)\big)=2 \ln (2)$.
	\item Montrer que $u_{1}=\ln (5)$.
	\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 2 \ln (2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}. \]
	\item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^{2}-X-2=0$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation : \[ \e^{x}-\e^{\frac{x}{2}}-2=0. \]
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $f(x)=x$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\Suite{u}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


