% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet2-exo4.tex
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}+1. \]
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On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\smallskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.
	
	En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a : \[ f^{\prime}(x)=\frac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}. \]
	\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
		\item Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=\ln (x). \]
	%
	On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine $O$. On considère un réel $x$ strictement positif et le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$. On note $OM$ la distance entre les points $O$ et $M$.
	
	\begin{wrapstuff}[r]
		\begin{GraphiqueTikz}[x=1.1cm,y=2.17cm,Xmin=-1,Xmax=4.5,Ymin=-1,Ymax=1.5]
			\def\valx{2.1}
			\TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{}
			\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.1,Trace,Couleur=red]<f>{ln(x)}
			\draw[pfltraitantec] (\valx,0) node[below] {$x$} -- (\valx,{ln(\valx)}) node[above left] {$M$} ;
			\MarquerPts*[Style=+]{(\valx,{ln(\valx)})}
			\draw[line width=0.9pt] (\valx,{ln(\valx)}) -- (0,0) node[below left] {$O$};
			\PlacerTexte[Couleur=red,Position=above left]{(3.25,{ln(3.25)})}{$\mathcal{C}_{g}$}
		\end{GraphiqueTikz}
	\end{wrapstuff}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la quantité $OM^{2}$ en fonction du réel $x$.
		
		\item Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, la quantité $OM^{2}$ admet un minimum en $\alpha$.
		
		\item La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, est appelée \emph{distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$}. On note $d$ cette distance.
		
		\smallskip
		
		Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
