% bac2025gen-poly-juin-sujet1-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025j1exo3.py]
from math import e

def mystere(n):
	I = 1 - 1 / e
	L = [I]
	for i in range(n) :
		I = (i + 1) * I - 1 / e
		L.append(I)
	return L
\end{scontents}
On munit le plan d'un repère orthonormé. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f_{0}(x) = \e^{-x} \text{ et, pour } n \geqslant 1,~f_{n}(x) = x^{n} \e^{-x}. \]
%
Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$. 

\smallskip

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des fonctions $\bm{f_{n}}$ pour $\bm{n \geqslant 1}$}

\medskip

On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
		
		Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, \[ f_{n}^{\prime}(x) = (n - x) x^{n-1} \e^{-x}. \]
		\item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :
		
		\begin{Centrage}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,${f_{n}^{\prime}(x)}$/1,$f_{n}$/2}{$0$,$n$,$+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}
				\tkzTabVar{-/$0$,+/${\left(\dfrac{n}{\e}\right)}^{n}$,-/$0$}
			\end{tikzpicture}
		\end{Centrage}
	\end{enumerate}
	\item Justifier par le calcul que le point $A\left(1; \e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $C_{n}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : Étude des intégrales $\bm{\int_{0}^{1} f_{n}(x) \text{d}x}$ pour $\bm{n \geqslant 0}$}

\medskip

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_{n}$ sur $[0; 1]$ et on considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n}(x) \dx = \int_{0}^{1} x^{n} \e^{-x} \dx. \]

\begin{enumerate}
	\item Sur le graphique en ANNEXE on a représenté les courbes $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{10}$ et $C_{100}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de $I_{n}$.
		\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
	\item Calculer $I_{0}$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0; 1]$, \[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n}. \]
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_{n}. \]
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.
	\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ I_{n+1} = (n+1) I_{n} - \frac{1}{\e}. \]
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question \textbf{5.} conduit à une contradiction.
		\item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question \textbf{6.a.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On donne ci-dessous le script de la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere}, écrite en langage \textsf{Python}.

On a importé la constante $\e$.

\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025j1exo3.py}

\begin{enumerate}[resume]
	\item Que renvoie \AffVignette[Type=py]{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice?
\end{enumerate}


