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On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par \[ f(x) = x \ln (x-2).\]

Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.2cm,Xmin=0,Xmax=8.75,Ymin=-17,Ymax=17,Ygrille=5]
		\TracerAxesGrilles[Grille=false]{auto}{-15,-10,...,15}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=2.001,Pas=0.01]{x*ln(x-2)}
		\PlacerTexte[Couleur=red]{(7.75,15)}{$\mathcal{C}_{f}$}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
	\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$.
	\item Calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} f(x)$.

	Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1.?
	\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ : \[ f^{\prime}(x) = \ln (x-2) + \frac{x}{x-2}. \]
	\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f^{\prime}(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, on a : \[ g^{\prime}(x) = \frac{x-4}{(x-2)^{2}}. \]
		\item On admet que $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} g(x) = +\infty$ et que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.

		En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, $g(x) > 0$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
	\item Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3?
\end{enumerate}


