% bac2025gen-poly-juin-sujet2-exo3.tex
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère les points suivants : \[ A(1; 3; 0), \quad B(-1; 4; 5), \quad C(0; 1; 0) \quad \text{et} \quad D(-2; 2; 1)
\]
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\begin{enumerate}
	\item Montrer que les points $A, B$ et $C$ déterminent un plan.
	\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
	\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
		\item Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : \[ 2x - y + z + 1 = 0.\]
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
	\item On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}\right)$.
	
	Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
	\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
		\item En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases}~\text{ où } k \text{ décrit } \R. \]
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	La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles?
\end{enumerate}


