% bac2025gen-poly-septembre-sujet1-exo2.tex
On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.

Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

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\begin{Centrage}
	\begin{tblr}{width=0.95\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[m,l]*{4}{X[m,c]}}}
		Année & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\
		Nombre d'individus & 50 & 64 & 80 & 100 \\
	\end{tblr}
\end{Centrage}

\medskip

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en anné, à partir de l'anné 2000.

Dans son modèle, l’image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

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\textbf{Partie A. Modèle 1}

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Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : \[ y' = 0,05y - 0,5 \quad \big(E_1\big) \]

\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation différentielle $\big(E_1\big)$ avec la condition initiale $y(0) = 50$.
	\item Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B. Modèle 2}

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Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : \[ y' = 0,05y(1 - 0,00125y) \quad \big(E_2\big) \]
%
On note $f$ la fonction définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}} \]
%
et $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.

\medskip

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

\textbf{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.}

\begin{Centrage}
	\begin{CalculFormelXcas}[Largeur=14,Entete=true]
		\LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]%
			{$f(x):=\frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}}$}%
			{$f(x)=\frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}}$}
		\LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]%
			{$f'(x):=\text{Dérivée}\left(f(x)\right)$}%
			{$f'(x)=\frac{600\e^{-0,05x}}{\left(1+15\e^{-0,05x}\right)^2}$}
		\LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]%
			{$f''(x):=\text{Dérivée}\left(f'(x)\right)$}%
			{$f'(x)=\frac{30\e^{-0,05x}}{\left(1+15\e^{-0,05x}\right)^3}\left(15\e^{-0,05x}-1\right)$}
		\LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]%
			{$\text{Résoudre}\left(15\e^{-0,05x}-1 \geqslant 0\right)$}%
			{$x \leqslant 20\,\ln(15)$}
	\end{CalculFormelXcas}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0) = 50$ et que pour tout $x \in \R$ : \[ f'(x) = 0,05\,f(x)(1 - 0,00125\,f(x)) \]
	%
	On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $\big(E_2\big)$ prenant la valeur initiale de 50 en 0.
	\item Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050.
	
	Arrondir le résultat à l'unité.
	\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $\mathcal{C}$ ?
	
	Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.
	\item Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
	\item Démontrer le résultat obtenu en \textsf{ligne 4} du logiciel.
	\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.
		\item La direction de la réserve affirme :
		
		« Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer ».
		
		La direction a-t-elle raison ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


