% bac2025gen-poly-septembre-sujet1-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3a.py]
def suite(k) :
	L = []
	u = 5
	for i in range(......) :
		L.append(u)
		u = .........................
	return(......)
\end{scontents}

\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3b.py]
>>> suite(9)

[5, 5.091042453358316, 5.131953749864703, 5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954, 5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]
\end{scontents}

\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3c.py]
def mystere(n) :
	L = suite(n)
	c = 1
	for i in range(n - 1) :
		if L[i] > L[i + 1] :
			c = 0
	return c
\end{scontents}

\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3d.py]
>>> mystere(10000)

1
\end{scontents}
On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2 + \ln\big(u_n^2 - 3\big). \]

On admet que cette suite est bien définie.

\medskip

\textbf{Partie A : Exploitation de programmes Python}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessous pour que \AffVignette[Type=py]{suite(k)}, qui prend en paramètre un entier naturel \AffVignette[Type=py]{k}, renvoie la liste des \AffVignette[Type=py]{k} premières valeurs de la suite $\Suite{u}$.
	
	\smallskip
	
	\textbf{Remarque :} On précise que, pour tout réel strictement positif \AffVignette[Type=py]{a}, \AffVignette[Type=py]{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \AffVignette[Type=py]{a}.
	
	\smallskip
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025rj1exo3a.py}
	%
	\item On a exécuté \AffVignette[Type=py]{suite(9)} ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $\Suite{u}$ et l'autre sur son éventuelle convergence.
	
	\smallskip
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center,title={{\scriptsize\faTerminal} Console Python}}{po2025rj1exo3b.py}
	%
	\item On a ensuite créé la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere(n)} donnée ci-dessous et exécuté \AffVignette[Type=py]{mystere(1000)} ce qui a renvoyé \AffVignette[Type=py]{1}.
	
	Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $\Suite{u}$ ? Justifier.
	
	\smallskip
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025rj1exo3c.py}
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center,title={{\scriptsize\faTerminal} Console Python}}{po2025rj1exo3d.py}
\end{enumerate}



\textbf{Partie B : Étude de la convergence de la suite $\bm{\left(u_n\right)}$}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par : \[ g(x) = 2 + \ln\big(x^2 - 3\big) \]
%
On admet que $g$ est dérivable sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[ 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6 \]
		\item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : Étude de la valeur de la limite}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par : \[ f(x) = 2 + \ln\big(x^2 - 3\big) - x. \]
%
On admet que $f$ est dérivable sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification.

\begin{Centrage}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2.5}{$2$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabVar{-/$0$,+/${\ln(6)-1}$,-/$-\infty$}
	\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
		\item Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
	\end{enumerate}
	\item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
	
	Justifier que $f(\ell) = 0$ et déterminer $\ell$.
\end{enumerate}


