% bac2025gen-poly-septembre-sujet1-exo4.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = x\,\ln(x)$.
	
	\textbf{Affirmation 1 :} \[ \int_{1}^{\e} f(x) \dx = \frac{\e^2 + 1}{4} \]
	%
	\item Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k \leqslant n$.
	
	\textbf{Affirmation 2 :} \[ n \times \binom{n-1}{k-1} = k \times \binom{n}{k} \]
	%
	\item Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
	
	Soit $d$ la droite de représentation paramétrique : $\begin{dcases} x = t + 1 \\ y = 2t + 1 \\ z = -t \end{dcases}, \quad t \in \R$.
	
	Soit $d'$ la droite de représentation paramétrique : $\begin{dcases} x = 2t' - 1 \\ y = -t' + 2 \\ z = t' + 1 \end{dcases}, \quad t' \in \R$.
	
	Soit $P$ le plan d'équation cartésienne : $2x + y - 2z + 18 = 0$.
	
	Soit A le point de coordonnées $(-1; -3; 2)$ et B le point de coordonnées $(-5; -5; 6)$.
	
	On appelle plan médiateur du segment $[AB]$ le plan passant par le milieu du segment $[AB]$ et orthogonal à la droite $(AB)$.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 3 :} Le point A appartient à la droite $d$.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 4 :} Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 5 :} Le plan $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$.
\end{enumerate}
