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\textbf{Partie A : lecture graphique}

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On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1;0)$. On précise que $T$ passe par le point $B(0;-2)$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=2.1cm,y=0.7cm,Xmin=-0.25,Xmax=5.25,Xgrilles=1,Ymin=-3.25,Ymax=6.26,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.50125,Pas=0.01]{x*log(2*x-1)}
  \TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{2*x-2}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1,0)/$A$/above left,(0,-2)/$B$/above left}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(3.125,5.75)}{$\mathcal{C}$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(3.875,5.25)}{$T$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer $f'(1)$.
  \item La fonction $f$ est-elle concave sur $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ ?
  \item Déterminer $f''(1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de fonction}

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On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ par :
\[
  f(x) = x\ln(2x-1)
\]
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que :
\begin{itemize}
  \item la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde ;
  \item $\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $\dfrac{1}{2}$. En déduire une interprétation graphique.

  \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.

  \item On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ :
  \[
    f'(x) = \ln(2x-1) + \frac{2x}{2x-1}.
  \]
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ :
    \[
      f''(x) = \frac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.
    \]
    \item Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\intervFF{1}{2}$.

    \item On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, on a :
    \[
      \frac{x^2}{2x-1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{2x-1}.
    \]

    Montrer que :
    \[
      \int_1^2 \frac{x^2}{2x-1}\,\dx = 1 + \frac{1}{8}\ln(3).
    \]

    \item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

    En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C : généralisation}

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On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ par :
\[
  f_a(x) = x\ln(ax - 1).
\]

On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$. On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique.

On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ :
\[
  f_a''(x) = \frac{a(ax-2)}{(ax-1)^2}.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $A_a$.

  \item Montrer que les points $A_a$ sont alignés, $a$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}