%bac2026gen-ag-juin-sujet2-exo2.tex
Dans une salle d'escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication. Ce module servira à créer des plans inclinés.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(A;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. L'unité est le mètre.

On considère les trois points suivants : $B\left(\dfrac{9}{2};0;0\right)$, $C\left(\dfrac{9}{4};3;0\right)$ et $D\left(\dfrac{3}{2};1;3\right)$.

On modélise le module par le tétraèdre $ABCD$.

On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité.

\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-17.5:1cm},UniteY={7.5:1.2cm},UniteZ={90:1.5cm}]
  %axes
  \draw[semithick] (-5,0,0) -- (0,0,0) ;
  \draw[semithick] (0,-5.8,0) -- (0,0,0) ;
  \draw[semithick] (0,0,-1.5) -- (0,0,3.75) ;
  \draw[semithick,dashed] (0,0,0) -- (0,4.33,0) ;
  \draw[semithick] (0,4.33,0) -- (0,5.25,0) ;
  %arêtes du tétraèdre
  \PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/4.5,0,0/b C/2.25,3,0/d D/1.5,1,3/h}
  \PlacePointsEspace*{W/1.9,1.3,3.3 U/-2.9,-2.3,-0.3}
  \PlacePointEspace[Couleur=black,PosLabel=b]{H}{1.5,1,0}
  \PlacePointEspace[PosLabel=h]{L}{-2.5,-2,0}
  \TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C A/D B/D C/D L/W}
  \TraceSegmentsEspace[very thick,dashed]{A/C L/U}
  %hauteur DH (projeté orthogonal)
  \TraceSegmentEspace[very thick,dashed](D)(H)
  \MarquePointsEspace[TailleMarque=1.5pt]{A,B,C,D,H}
  %droite Delta et point L (cf partie B)
  \MarquePointEspace[TailleMarque=1.5pt]{L}
  %repère
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (1,0,0) node[below left] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,1,0) node[above] {$\vec{\jmath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,0,1) node[below left] {$\vec{k}$} ;
  \node at (-2,0,1.2) {$\Delta$} ;
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
  \begin{tikzpicture}
    \coordinate (A) at (0,0) ;
    \coordinate (B) at (6,0) ;
    \coordinate (Cc) at (3,4) ;
    \coordinate (Hp) at (3,0) ;
    \draw[very thick] (A) -- (B) -- (Cc) -- cycle ;
    \draw[darkgray,very thick] (Hp) rectangle ++(0.4,0.4) ;
    \draw[very thick,dashed] (Cc) -- (Hp) ;
    \node[below left] at (A) {$A$} ;
    \node[below right] at (B) {$B$} ;
    \node[above] at (Cc) {$C$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item On représente ci-dessous le triangle $ABC$ et sa hauteur issue de $C$.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

    \item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $6{,}75$ m².
  \end{enumerate}

  \item

  \begin{enumerate}
    \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $z = 0$.

    \item Montrer que le point $H\left(\dfrac{3}{2}\,;1\,;0\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à la base $\mathcal{B}$.

  En déduire le volume du module.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est :%
    \[
      4x + 3y + 3z - 18 = 0.
    \]
    \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par $D$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont sécants et on désigne par $L$ leur point d'intersection.

  Montrer que $L$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{5}{2}\,;-2\,;0\right)$.

  \item Le module est considéré adapté aux débutants si l'angle $\widehat{LDH}$ est strictement inférieur à $60°$.

  Montrer que ce module est adapté aux débutants.
\end{enumerate}