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Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

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Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

\begin{itemize}
  \item $25\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et $15\,\%$ ont choisi l'abonnement « Famille » ;
  \item $45\,\%$ des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  \item $30\,\%$ des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
  \item $12\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».
\end{itemize}

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants :

\begin{itemize}
  \item $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant » ;
  \item $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique » ;
  \item $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille » ;
  \item $H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».
\end{itemize}

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\textbf{Partie A}

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\begin{enumerate}
  \item Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés :

  \begin{Centrage}
    \ArbreProbasTikz[Type=3x2,PositionProbas=auto]{$E$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,$C$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,$F$/\numdots/,$H$/\numdots/,$\overline{H}$/\numdots/,}
  \end{Centrage}

  \item Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.

  \item Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

  \item Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». \textit{On arrondira le résultat au millième.}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.

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On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

\begin{enumerate}
  \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

  \item Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». \textit{On arrondira le résultat au millième.}

  \item Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.
  On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.
  On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_n = 1 - 0{,}5875^n$.
    \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99{,}9\,\%$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

\begin{itemize}
  \item Abonnement « Étudiant » : $5$~€ par mois ;
  \item Abonnement « Classique » : $10$~€ par mois ;
  \item Abonnement « Famille » : $16$~€ par mois ;
  \item Option « Écoute hors-ligne » : $2$ euros de plus par mois quel que soit l'abonnement choisi.
\end{itemize}

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

\begin{enumerate}
  \item Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.

  \item Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

  \item Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut $10{,}475$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

  \item À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.

  \item Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.
  On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut $9$ et son écart-type $2$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.
    \item Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\,\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre $6$ et $12$ euros.

    Justifier cette affirmation.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}