%bac2026gen-amnord-mai-sujet1-exo3.tex
Dans cet exercice l'unité est le cm.

On considère une pyramide à base carrée $SABCD$ comme dans la figure ci-dessous.

\begin{center}%à reprendre ;-)
  \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-135:2cm},UniteY={0:2.75cm},UniteZ={90:2.75cm}]
    \PlacePointsEspace[]{O/0,0,0/hd A/-1,-1,0/hd B/-1,1,0/hd C/1,1,0/bd D/1,-1,0/bg I/1,0,0/b J/0,1,0/bd K/0,0,1/h S/0,0,2/h}
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(1,0,0) ;
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,1,0) ;
    \draw[thick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,1) ;
    \TraceSegmentsEspace[semithick]{S/D S/C S/B B/C C/D}
    \TraceSegmentsEspace[semithick,dashed]{S/A A/B A/C A/D A/C D/B}
    \MarquePointsEspace[]{O,A,B,C,D,I,J,K,S}
  \end{EnvTikzEspace}
\end{center}

Dans cette figure :
\begin{itemize}
  \item $AB = BC = CD = DA = OS = 2$~cm
  \item $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$.
\end{itemize}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(O;\vect{OI},\vect{OJ},\vect{OK}\right)$.

On admet que $B(-1;1;0)$, $C(1;1;0)$, et $S(0;0;2)$.

\medskip

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $A$ et $D$.

  \item Calculer le produit scalaire $\vect{SC}\cdot\vect{SB}$.

  \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$ arrondie au dixième de degré près.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(SBC)$.

\begin{enumerate}
  \item Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(SBC)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $2y + z - 2 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(SBC)$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est
    \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \]
    \item Calculer les coordonnées du point $H$.
    \item En déduire que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On se propose ici de retrouver le résultat de la \textbf{partie B} par une autre méthode.

\begin{enumerate}
  \item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :
  \[ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur.} \]
  \begin{enumerate}
    \item Calculer le volume de la pyramide $SABCD$.
    \item En déduire que le volume de la pyramide $OCBS$ est égal à $\dfrac{2}{3}$~cm$^3$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer l'aire du triangle $SBC$.

  \item Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$~cm.
\end{enumerate}