%bac2026gen-amnord-mai-sujet1-exo4.tex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 5\ln(x^2+1) - 3x$ et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-6,Xmax=7,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-3,Ymax=6,Ygrille=1,Ygrilles=1]
    \tikzset{pflgrillep/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \tikzset{pflgrilles/.style={thin,gray,densely dotted}}
    \TracerAxesGrilles[Police=\small,Elargir=2.5mm]{auto}{auto}
    \TracerCourbe[Couleur=red]{5*ln(x^2+1) - 3*x}
    \TracerCourbe[Couleur=blue]{2*x + 5*ln(2) - 5}
    \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(-1,3)}{$\mathcal{C}_f$}
    \MarquerPts[Style=x]{(1,{2+5*ln(2)-5})/$A$/right} %croix
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\R$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

  \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,
    \[ f(x) = x\!\left(10\,\frac{\ln x}{x} - 3\right) + 5\ln\!\left(1 + \frac{1}{x^2}\right). \]
    \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}$.
    \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et que pour tout réel $x$,
  \[ f''(x) = \frac{-10x^2+10}{\left(x^2+1\right)^2}. \]
  \begin{enumerate}
    \item Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
    \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.
    \item En déduire que pour tout $x \geqslant 1$, $\ln(x^2+1) \leqslant x + \ln(2) - 1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}