%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo1.tex
Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs $A$ et $B$.

\smallskip

Il a été constaté que :

\begin{itemize}
  \item $91\,\%$ du stock de tomates est commercialisable ;
  \item $60\,\%$ du stock de tomates provient du fournisseur $A$ ;
  \item parmi les tomates provenant du fournisseur $A$, la proportion de tomates commercialisables est de $95\,\%$.
\end{itemize}

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

\begin{itemize}
  \item $A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $A$ » ;
  \item $B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $B$ » ;
  \item $C$ l'événement « La tomate est commercialisable ».
\end{itemize}

Pour un événement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

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\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
  \item Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

  \begin{Centrage}
    \ArbreProbasTikz[Type=2x2,PositionProbas=auto]{$A$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$B$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,}
  \end{Centrage}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$.

    \item Démontrer que $P_B(C)=0{,}85$.

    \item La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chances qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$. A-t-il raison ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

\begin{enumerate}
  \item On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates.

  \begin{enumerate}
    \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
    \item Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.

    \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.}
    \item Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.

    \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.}
  \end{enumerate}

  \item On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

  On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

  On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

  On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$.

  \begin{enumerate}
    \item Calculer l'espérance $\Esper{F_n}$ et exprimer la variance $\Varianc{F_n}$ en fonction de $n$.

    \item Démontrer que $P{\left(0{,}04 < F_n < 0{,}14\right)} \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}$.

    \item Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}