%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo2.tex
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=an2026j2exo2.py]
from math import*

def termes(p) :
    u = ...
    S = 0
    L = []
    for i in range(p) :
      S = ...
      u = ...
      L.append(S)
    return L
\end{scontents}

\textbf{Partie A : étude du sens de variation d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$.

\begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation $f(x) = x$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

    Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$.

    \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente}

\medskip

La suite $\suiten$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$.

  \item En déduire que la suite $\suiten$ converge et déterminer sa limite.

  \item Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question~\textbf{2.} de la \textbf{partie B}.

  Pour tout entier naturel $n$, on pose :%
  \[ v_n = \frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]
  On admet que la suite $\suiten[v]$ est bien définie.

  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est une suite géométrique de raison $4$ dont on précisera le premier terme.

    \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\frac{1{,}5 \times 4^n}{1+0{,}5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.

    \item En déduire la limite de la suite $\suiten$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : étude de la convergence de la somme de termes}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2$.

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $\suiten[S]$.

  \CodePythonLstFichierAlt*[10cm]{center}{an2026j2exo2.py}

  Remarque : on rappelle qu'en langage \textsf{Python},

  \begin{itemize}
    \item la commande \AffVignette[Type=py]{L=[]} crée une liste vide ;
    \item la commande \AffVignette[Type=py]{L.append(S)} ajoute, à la fin de la liste \AffVignette[Type=py]{L}, l'élément supplémentaire \AffVignette[Type=py]{S}.
  \end{itemize}

  \item On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}$.

  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.

  \item En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}