%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo3.tex
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère :

\begin{itemize}
  \item les points $A(4;2;2)$, $B(5;-2;3)$ et $C(1;1;1)$ ;
  \item la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par%
  \[ \begin{cases} x = 1+2t \\ y = 1+t \\ z = 1+2t \end{cases} \text{ avec } t \in \R ~ ; \]
  \item le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $\Delta$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que la droite $\Delta$ passe par le point $C(1;1;1)$ mais pas par le point $A$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x + y + 2z - 14 = 0$.
    \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $B$ mais pas par le point $C$.
  \end{enumerate}

  \item On considère le point $D(3;2;3)$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathcal{P}$.
    \item Justifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    \item Calculer le produit scalaire $\vect{AB}\cdot\vect{AD}$.
    \item Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

    \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par} $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ \textit{où} $B$ \textit{est l'aire d'une base du tétraèdre et} $h$ \textit{la hauteur relative à cette base.}
  \end{enumerate}

  \item On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que les coordonnées du point $H$ sont $\left(\dfrac{73}{29};\dfrac{-4}{29};\dfrac{51}{29}\right)$.

    \item Démontrer que l'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.

    \item En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}