%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo1.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ja2026j1exo1.py]
def seuil():
  n = 1
  p = 0.5
  while ... :
    n = ...
    p = ...
  return ...
\end{scontents}

Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.
On modélise la situation de la façon suivante :
\begin{itemize}
  \item au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ ;
  \item pour les tirs suivants :
  \begin{itemize}
    \item lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$ ;
    \item lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$.
  \end{itemize}
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_n$ : \og Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir \fg.
On note $p_n = P(T_n)$ la probabilité que l'événement $T_n$ se réalise.

\begin{enumerate}
  \item Donner la valeur de $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{17}{30}$.

  \item Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $T_n$/$p_n$/,
    $T_{n+1}$/$\frac{4}{5}$/,
    $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/,
    $\overline{T_n}$/\numdots/,
    $T_{n+1}$/\numdots/,
    $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :%
  \[ p_{n+1} = \frac{7}{15}\,p_n + \frac{1}{3} \]
  %
  \item On considère la suite $\suiten[p]$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
  \[ u_n = p_n - \frac{5}{8} \]
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que la suite $\suiten$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.
    \item Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    \item En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer la limite de la suite $\suiten[p]$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

  \item On considère ci-dessous une fonction \AffVignette[Type=py]{seuil}, incomplète, écrite en langage \textsf{Python}.

  Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_n$ soit supérieur ou égal à $0{,}6$.

  \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{ja2026j1exo1.py}

  \item Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p_n \geqslant 0{,}6$.
\end{enumerate}