%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo2.tex
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

\medskip

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{1}{+\infty}$ par :%
  \[ f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}} \]
  %
  \textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ admet pour limite $1$ en $+\infty$.

  \item On considère la suite $\suiten[w]$ définie par $w_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
  \[ w_{n+1} = w_n + 2n + 3 \]

  \textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, $w_n = (n+1)^2$.

  \item Soit $p$ un nombre réel tel que $0 < p < 1$.
  On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $3$ et $p$.

  On note $P(X=1)$ la probabilité de l'événement $(X=1)$.

  \textbf{Affirmation 3 :} $P(X=1) = 3p - 6p^2 + 3p^3$.

  \item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
  \[ v_n = \int_0^1 \e^{nx}\,\dx \]

  \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n = \dfrac{\e^n}{n}$.

  \item On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des $16$ cases d'un quadrillage.

  \textbf{Affirmation 5 :} On peut réaliser $\dbinom{16}{3}$ coloriages différents.
\end{enumerate}