%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo3.tex
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace, on considère les points suivants :%
\[ A(0;0;1) \text{ ; } B(1;2;3) \text{ ; } C(3;3;1) \text{ ; } E(2;-2;2) \text{ ; } F(3;0;4) \text{ et } G(5;1;2) \]

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que les points $B$, $C$ et $E$ ne sont pas alignés.
    \item Justifier que le vecteur $\vect{AF}$ est normal au plan $(BCE)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCE)$ est $x + z - 4 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le point $G$ n'appartient pas au plan $(BCE)$.
    \item Montrer que les vecteurs $\vect{BE}$, $\vect{BC}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas coplanaires.
    \item En déduire que la droite $(AG)$ et le plan $(BCE)$ sont sécants.
  \end{enumerate}

  Pour la suite de l'exercice, on appellera $P$ le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BCE)$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est :
    \[ \begin{cases} x = 5t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \]
    \item En déduire les coordonnées du point $P$.
    \item Montrer que le point $P$ est le milieu du segment $[EC]$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer l'intersection des plans $(BCE)$ et $(ACG)$.
\end{enumerate}