%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo4.tex
\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ par :%
  \[ g(x) = x\cos(x) - \sin(x) \]
  On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ et on note $g'$ sa dérivée.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$, on a $g'(x) = -x\sin(x)$.

    \item On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ ci-dessous.
    Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

    \medskip

    \begin{Centrage}
    \begin{tikzpicture}
      \tkzTabInit{$x$/1,$g$/2}{$0$,$\pi$,$2\pi$}
      \tkzTabVar{+/$0$,-/$-\pi$,+/$2\pi$}
    \end{tikzpicture}
    \end{Centrage}

    \item Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFF{\pi}{2\pi}$ telle que $g(\alpha) = 0$.

    \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$.
  \end{enumerate}

  \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ par :
  \[ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \]
  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ et on note $f'$ sa dérivée.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ on a :
    \[ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \]

    \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$.

    \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$.

    \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$.
  \end{enumerate}

  \item On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $0 < r < s < \pi$.

  Montrer que :
  \[ \frac{r}{s} < \frac{\sin(r)}{\sin(s)} \]
\end{enumerate}