%bac2026gen-asie-juin-sujet2-exo1.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ja2026j2exo1.py]
def seuil(h) :
    n = 0
    u = 0
    while u < 1 - h :
        n = n + 1
        u = (u - 2) / (2*u - 3)
    return n
\end{scontents}
%
On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervOO{-\infty}{\dfrac{3}{2}}$ par $f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3}$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

  \medskip

  \begin{Centrage}
  \begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
    \tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$}
    \tkzTabVar{-/$\dfrac{1}{2}$,+D/$+\infty$/{}}
  \end{tikzpicture}
  \end{Centrage}

  \item En déduire que pour tout $x \in [0;1]$, on a : $f(x) \in [0;1]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\suiten$ définie par :
\[ \begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3}, \text{ pour tout entier naturel } n \end{cases} \]

\begin{enumerate}
  \item En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
  \[ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \]

  \item En déduire que la suite $\suiten$ converge.

  \item On note $l$ la limite de la suite $\suiten$.
  En admettant que $l$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0;1]$, montrer que $l = 1$.

  \item On donne ci-dessous une fonction \AffVignette[Type=py]{seuil} écrite en langage \textsf{Python}.

  \medskip

  \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{ja2026j2exo1.py}

  \medskip

  L'appel \AffVignette[Type=py]{seuil(0.0001)} renvoie la valeur $5\,000$.

  Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Donner les quatre premiers termes de la suite $\suiten$ sous forme de fractions irréductibles.
    \item Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}