%bac2026gen-ce-juin-sujet1-exo3.tex
On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}
  \PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=3,AffLabel]
  \PlacePointsEspace{K/0,0,1.5/g I/1.5,0,3/bd J/0,1.5,3/hg}
  \MarquePointsEspace[StyleMarque=x]{I,J,K}
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

On munit l'espace du repère orthonormal $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$.

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la valeur du produit scalaire $\vect{AI} \cdot \vect{AJ}$.
    \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que le vecteur $\vect{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées du point $L$.
    \item En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $M$ un point de la droite $(FG)$.
  On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1;m;1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est :
    \[ \begin{cases} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \]
    \item Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}