%bac2026gen-ce-juin-sujet1-exo4.tex
% Script Python exercice 4
\begin{scontents}[overwrite,write-out=cee2026j1exo4.py]
from math import *
S = 1 / (2*exp(1))
for i in range(2, 10) :
    S = ...
print(S)
\end{scontents}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
    \item Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  \end{enumerate}

  \item Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que :
  \[ f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \]

  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

  \item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.

  \item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a :
  \[ f''(x) = \frac{-5 + 6\ln(x)}{x^4} \]

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
    \item En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{\e^{5/6}}$, on a $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
  \end{enumerate}

  \item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervFF{\e^{5/6}}{+\infty}$, on a aussi $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\suiten[I]$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par :
\[ I_n = \int_1^n \frac{\ln(x)}{x^2}\,\dx \]

\begin{enumerate}
  \item Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul.

  \item Démontrer que la suite $\suiten[I]$ est croissante.

  \item On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\dx$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

  \begin{Centrage}
    \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=20cm,Xmin=0,Xmax=11.8,Xgrilles=1,Ymin=-0.04,Ymax=0.24,Ygrille=0.05,Ygrilles=0.05]
      \TracerAxesGrilles[Derriere]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2}
      \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.5,Trace,Couleur=red]<f>{ln(x)/x^2}
      \RepresenterMethodeIntegrale[Couleur=teal,NbSubDiv=8,Opacite=0.5]<f>{2}{10}
      \draw[pflfigureintegr] (1,0) rectangle++ (1,{1/(2*exp(1))}) ;
      \TrouverMaximum[Debut=1,Fin=2]{f}[cf-max]
      \MarquerPts*[Couleur=blue,Style=x]{(cf-max)}
      \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(10.5,0.0375)}{$\mathcal{C}_f$}
      \TracerAxesGrilles*[Devant,Origine]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2}
    \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage \textsf{Python}.

  \medskip

  \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{cee2026j1exo4.py}

  \medskip

  Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.

  \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ :
  \[ I_n = \frac{n - 1 - \ln(n)}{n} \]

  \item Calculer la limite de la suite $\suiten[I]$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}