%bac2026gen-ce-juin-sujet2-exo3.tex
\textbf{Partie A}

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On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(3x^2 + 2x)$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.

  \item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f(x) - x$.
  On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.
    \item Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
    \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la \textbf{partie A}.

On définit une suite $\suiten[a]$ par son premier terme $a_0 > 0$ et pour tout entier naturel $n$,
\[
  a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)
\]

On étudie le cas où $2 \leqslant a_0 \leqslant \alpha$, où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant a_n \leqslant \alpha$.
  \item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ est croissante.
  \item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ converge.
  \item Démontrer que la limite de la suite $\suiten[a]$ est $\alpha$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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Dans cette partie, on prend $a_0 = 2$. La suite $\suiten[a]$ est ainsi définie par $a_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)$.

On note $\suiten[b]$ la suite définie par $b_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = \ln(3b_n^2 + 2b_n)$.
On admet que la suite $\suiten[b]$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n \leqslant b_n$.

  \item On considère le script ci-dessous écrit en langage \textsf{Python}.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
from math import *
def algo(p) :
    a = 2
    b = 10
    n = 0
    while b - a > 10**(-p) :
        a = log(3*a**2 + 2*a)
        b = log(3*b**2 + 2*b)
        n = n + 1
    return (n, a)
\end{CodePythonLstAlt}

  On rappelle qu'en langage \textsf{Python} :
  \begin{itemize}
    \item la commande \texttt{log(c)} renvoie la valeur de $\ln(c)$ ;
    \item la commande \texttt{a**2} renvoie la valeur de $a^2$.
  \end{itemize}

  \begin{enumerate}
    \item Donner les valeurs renvoyées par l'instruction \texttt{algo(2)}. \textit{On arrondira si besoin les valeurs au millième.}
    \item Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}