%bac2026gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex
\textbf{Partie A}

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Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$.

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.75cm,y=7cm,Xmin=0,Xmax=6,Xgrilles=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-0.6,Ymax=1.2,Ygrille=0.5,Ygrilles=0.1]
  \tikzset{pflcourbe/.style={line width=1.1pt}}
  \TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm,Origine]{1,...,6}{-0.5,0.5,1}
  \DefinirCourbe[Nom=cun,Trace,Couleur=blue,StyleTrace=dotted]<f>{(x^2-3*x+2)*exp(-x)}
  \TracerDerivee[Nom=cdeux,Couleur=red,StyleTrace=dashed]{f}
  \DefinirCourbe[Nom=ctrois,Trace,Couleur=violet]{(x^2-7*x+10)*exp(-x)}
  \PlacerTexte[Couleur=blue,Position=right]{(0.225,1)}{$C_1$}
  \PlacerTexte[Couleur=violet,Position=right]{(1.2,1)}{$C_2$}
  \PlacerTexte[Couleur=red,Position=left]{(1,-0.4)}{$C_3$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

Associer chacune des fonctions $f$, $f'$ et $f''$ à sa courbe représentative. \textit{Aucune justification n'est attendue.}

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\textbf{Partie B}

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On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y' + y = (2x-3)\e^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x^2 - 3x)\e^{-x}$.
  Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

  \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' + y = 0$.

  \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

  \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 2$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^{-x}(x^2 - 3x + 2)$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
  \item Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
  \end{enumerate}

  \item On note $I$ l'intégrale définie par :
  \[
    I = \int_0^1 f(x)\,\dx
  \]
  \begin{enumerate}
    \item À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I = 1 - \dfrac{1}{\e}$.
    \item Interpréter graphiquement ce résultat.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie D}

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On considère un réel $a$.
On note $(T_a)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_a)$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)\e^{-a}$.

  \item Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine du repère. \textit{Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.}
\end{enumerate}