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Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30\,\%$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80\,\%$ réservent une cabine.

On sait par ailleurs que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $V$ : \og la famille réserve un emplacement pour un véhicule \fg{} ;
  \item $C$ : \og la famille réserve une cabine \fg.
\end{itemize}

Pour un événement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

\begin{wrapstuff}[r]
\def\ArbreExoUn{
  $V$/\numdots/,
  $C$/\numdots/,
  $\overline{C}$/\numdots/,
  $\overline{V}$/\numdots/,
  $C$/\numdots/,
  $\overline{C}$/\numdots/
}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,EspaceNiveau=1.75]{\ArbreExoUn}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Donner $P(C)$.

    \item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.
  \end{enumerate}

  \item Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

  \item Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

  \item Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :
\begin{itemize}
  \item $100$~€ pour une cabine ;
  \item $70$~€ pour l'emplacement d'un véhicule.
\end{itemize}

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
  $x_i$           & $0$    & $70$   & $100$  & $170$ \\
  $P(X = x_i)$ & $0{,}19$ & $0{,}06$ & $0{,}51$ & $0{,}24$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\Esper{X} = 104$ et pour variance $\Varianc{X} = 1\,686$.

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que $\Esper{X} = 96$ et que $\Varianc{X} = 3\,114$.

  \item À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40\,\%$ sur les suppléments et les extras.

  On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

  \begin{enumerate}
    \item Justifier que $Z = 0{,}6(X + Y)$.
    \item En déduire que $\Esper{Z} = 120$ et que $\Varianc{Z} = 1\,728$, où $\Esper{Z}$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\Varianc{Z}$ sa variance.
  \end{enumerate}

  \item On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question \textbf{2}.

  On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

  On désigne par $Z_1$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_2$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_n$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

  On considère la variable aléatoire $M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

  On admet que les variables $Z_1$, $Z_2$, \ldots, $Z_n$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que l'espérance $\Esper{M_n}$ de la variable $M_n$ est égale à $120$, et que sa variance $\Varianc{M_n}$ est égale à $\dfrac{1\,728}{n}$.
    \item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(114 < M_n < 126) \geqslant 0{,}85$.

    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}