%bac2026gen-fr-juin-sujet1-exo3.tex
% Script Python exercice 3
\begin{scontents}[overwrite,write-out=me2026j1exo3.py]
  def marche() :
  n = 0
  u = 20
  while ... :
  u = ...
  n = ...
  return n
\end{scontents}

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18°C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20°C.

\medskip

\textbf{Partie A : Phase de chauffage}

\medskip

Pour une température de la pièce variant de 18°C à 20°C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

On admet que la fonction $T$ est :
\begin{itemize}
  \item dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ ;
  \item solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' = -0{,}035\,y + 0{,}91$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\end{itemize}

On note $T'$ la fonction dérivée de la fonction $T$.

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18°C. Ainsi $T(0) = 18$.

\begin{enumerate}
  \item Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

  \item En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, on a :
  \[
    T(t) = 26 - 8\e^{-0{,}035t}.
  \]

  \item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20°C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

  \item Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20°C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28°C selon ce modèle ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Phase de refroidissement}

\medskip

Lorsque la pièce atteint la température de 20°C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 20$ et pour tout entier naturel $n$ :%
\[
  u_{n+1} = 0{,}965\,u_n + 0{,}35 + 0{,}07\e^{-0{,}1n}
\]
où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $u_1 = 19{,}72$.

  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 10$.

  On admet que la suite $\suiten$ est décroissante.

  \item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.

  \item On note $\ell$ la limite de la suite $\suiten$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que cette limite est solution de l'équation $x = 0{,}965\,x + 0{,}35$.
    \item Déterminer $\ell$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}

  \item On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18°C$.
  \begin{enumerate}
    \item Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

    \medskip

    \CodePythonLstFichierAlt[6cm]{center}{me2026j1exo3.py}

    \item Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}