%bac2026gen-fr-juin-sujet1-exo4.tex
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{-1}{+\infty}$ par :
\[
  f(x) = a + \frac{b\,\ln(x+1)}{x+1},
\]
où $a$ et $b$ sont des réels, et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{-1}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A}

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L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ de sorte que la courbe représentative de la fonction $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$ corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.125cm,y=1.125cm,Xmin=-0.5,Xmax=7.25,Xgrilles=1,Ymin=-0.75,Ymax=5.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \TracerCourbe[Couleur=teal,StyleTrace=dashed]{1+4*x}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue]{1+4*ln(x+1)/(x+1)}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(0,1)/$A$/below right}
  % Tangente en A : f'(0) = b, donc pente = b = 4
  \PlacerTexte[Couleur=teal]{(0.25,3.5)}{$T_A$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

On précise que la droite $T_A$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A(0\,;\,1)$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que $a = 1$.

  \item En utilisant le graphique :
  \begin{enumerate}
    \item Donner la valeur de $f'(0)$. Justifier.
    \item Donner le signe de $f''(1)$. Justifier.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOO{-1}{+\infty}$, on a :
    \[
      f'(x) = \frac{b(1 - \ln(x+1))}{(x+1)^2}.
    \]
    \item En déduire la valeur de $b$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

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On admet dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur $\intervOO{-1}{+\infty}$ par :
\[
  f(x) = 1 + \frac{4\ln(x+1)}{x+1}.
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.

  \item Résoudre l'inéquation $1 - \ln(x+1) > 0$ sur $\intervOO{-1}{+\infty}$.

  \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = -\infty$.

  Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ en indiquant la valeur exacte de son extremum. Justifier.

  \item Montrer que l'équation $f(x) = 1{,}5$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$. En donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que :
    \[
      \int_0^2 \frac{\ln(x+1)}{x+1}\,\dx = \frac{1}{2}(\ln 3)^2.
    \]
    \item En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}