%bac2026gen-fr-juin-sujet2-exo1.tex
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={10:1.4cm},UniteY={140:0.9cm},UniteZ={90:1.4cm}]
  \PlacePointsEspace{A/2,1,1/hd B/3,-2,0/hd C/0,-1,1/bg D/0,0,2/g}
  \draw[thick] (-0.7,0,0)--(1.7,0,0) (3.1,0,0)--(4.48,0,0) (0,-3,0)--(0,2,0) (0,0,-1.5)--(0,0,2.5) ;
  \fill[lightgray!25,line join=bevel] (D)--(A)--(B)--(C)--cycle ;
  \draw[dashed,thick] (1.7,0,0)--(3.13,0,0) ;
  \TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C A/D B/D D/C}
  \TraceSegmentEspace[very thick,dashed](A)(C)
  \MarquePointsEspace[Couleur=black,TailleMarque=1.5pt]{A,B,C,D}
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (1,0,0) node[below left] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,1,0) node[below left] {$\vec{\jmath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,0,1) node[left] {$\vec{k}$} ;
  \node[below left] at (0,0,0) {$O$} ;
\end{EnvTikzEspace}
\end{wrapstuff}

Dans le repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :%
\[
  A(2;1;1),~B(3;-2;0),~C(0;-1;1) \text{ et } D(0;0;2).
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
    \[
      x - y + 4z - 5 = 0.
    \]
  \end{enumerate}

  \item Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ est donnée par :%
  \[
    \begin{cases}
      x = t \\
      y = -t \\
      z = 2 + 4t
    \end{cases}
    \quad\text{avec } t \in \mathbb{R}.
  \]

  \item Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point $H\left(-\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{6};\dfrac{4}{3}\right)$.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.
    \item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est $3\sqrt{2}$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item En déduire que le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $1$.

    \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par~: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.}

    \item On admet que la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $\sqrt{2}$.

    En déduire l'aire du triangle $BCD$.
  \end{enumerate}

  \item Dans cette question, on note $D_k$ le point ayant pour coordonnées $(0;0;k)$ où $k$ est un réel.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D_k$ sont coplanaires.

    Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?

    \item Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}