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Un bassin destiné à l'élevage des truites contient $30\,000$ litres d'eau, régulièrement renouvelée.

Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l'eau par une substance polluante à l'aide de deux modèles différents.

Les deux parties sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A : modèle discret}

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On note $V_n$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi $V_0 = 0$.

On admet que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0{,}995\,V_n + 6$.

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5cm]{}
def volume(n):
    v = ...
    for k in range(n) :
        v = ...........
    return v
\end{CodePythonLstAlt}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Calculer $V_1$ et $V_2$.

  \item Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures.

  \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,

  $V_n \leqslant V_{n+1} \leqslant 1200$.

  \item Justifier que la suite $\suiten[V]$ converge, et calculer sa limite.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : modèle continu}

\medskip

On note $v(t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$, en heure.

On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, et on note $v'$ sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t = 0$ ; ainsi $v(0) = 0$.

On admet que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :
\[
  (E)~: y' = -0{,}005\,y + 6,
\]
où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
    \item Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ :
    \[
      v(t) = 1200\left(1 - \e^{-0{,}005t}\right).
    \]
    \item Calculer la limite de $v$ en $+\infty$.
    \item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$.
  \end{enumerate}

  \item Un taux de substance polluante supérieur à $5\,\%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

  \item Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas $50$ litres.

  Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse $50$ litres dans le bassin.

  En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.
\end{enumerate}