%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo1.tex
Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent $80\,\%$ du stock de l'école.

La gérante observe qu'après chaque saison~:
\begin{itemize}[noitemsep]
  \item $75\,\%$ des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables)~;
  \item $60\,\%$ des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.
\end{itemize}

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux évènements suivants~:
\begin{itemize}[noitemsep]
  \item $M$ : \og La planche est en mousse \fg~;
  \item $B$ : \og La planche est en bon état \fg~;
  \item $R$ : \og La planche sera recyclée \fg~;
  \item $C$ : \og La planche sera consolidée \fg.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous avec les données de l'énoncé.

  Il sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[
    x=2.75cm, y=0.85cm,
    edge from parent/.style={semithick,draw,-},
    every node/.style={font=\small}
  ]
    % Niveau 0 (racine)
    \coordinate (r) at (0,0) ;
    % Niveau 1
    \node (M)  at (1, 1.5) {$M$};
    \node (Mb) at (1,-1.5) {$\overline{M}$};
    % Niveau 2 — branche M
    \node (MB) at (2, 2.5) {$B$};
    \node (MR) at (2, 0.5) {$R$};
    % Niveau 2 — branche M̄
    \node (MbB) at (2,-0.5) {$B$};
    \node (MbR) at (2,-1.8) {$R$};
    \node (MbC) at (2,-3.0) {$C$};
    % Traits
    \draw (r) -- (M) ;
    \draw (r) -- (Mb) ;
    \draw (M)  -- (MB) ;
    \draw (M)  -- (MR) ;
    \draw (Mb) -- (MbB) ;
    \draw (Mb) -- (MbR) ;
    \draw (Mb) -- (MbC) ;
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \item On sait que $P{\big(\overline{M} \cap R\big)} = 0{,}05$.
  \begin{enumerate}
    \item Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.
    \item On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est $0{,}15$.
  \end{enumerate}

  \item La gérante affirme qu'après une saison, au moins $\dfrac{3}{4}$ des planches sont en bon état. A-t-elle raison~?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante.

Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client~:

Une urne contient $5$ boules noires et un nombre $n$ de boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Le client tire simultanément deux boules dans l'urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise ; sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est~:
  \[
    p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.
  \]

  \item En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire~:
  \[
    p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.
  \]

  \item La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\dfrac{1}{2}$.

  Déterminer pour cela l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne.
\end{enumerate}