%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo2.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}

\textit{Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\textit{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)\,\e^{-x}$.

  \textbf{Affirmation 1~:} La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

  \item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\,\e^x$.

  \textbf{Affirmation 2~:} La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $\intervFO{-2}{+\infty}$.

  \item \textbf{Affirmation 3~:} Une intégration par parties permet d'obtenir~:
  \[
    \int_{0}^{\pi} x\sin x \dx = -\pi.
  \]

  \item On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y - 5$ et la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $h(x) = -\dfrac{3}{2}\,\e^{2x} + \dfrac{5}{2}$.

  \textbf{Affirmation 4~:} La fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$.

  \item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en \textsf{Python}~:

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center}
def mystere(n) :
    f = 1
    for k in range(1, n+1) :
        f = f * k
    return f
\end{CodePythonLstAlt}

  \textbf{Affirmation 5~:} Le nombre renvoyé lors de l'exécution de \texttt{mystere(5)} est $120$.
\end{enumerate}