%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo4.tex
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère les points $A(1;2;-1)$, $B(0;3;2)$, $C(-2;4;0)$ et $D(8;2;-11)$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $5x + 8y - z - 22 = 0$.
    \item Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par $D$.

    Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est~:
    \[
      \begin{cases}
        x = \phantom{-}8 + 5t \\
        y = \phantom{-}2 + 8t \\
        z = -11 - t
      \end{cases},\quad\text{avec } t \in \mathbb{R}.
    \]

    \item On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.

    Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{2};-2;-\dfrac{21}{2}\right)$.

    \item En déduire la valeur exacte de la longueur $DE$, distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item On note $H$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.

  On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(BC)$ est~:
  \[
    \begin{cases}
      x = -2k \\
      y = \phantom{-}3 + k \\
      z = \phantom{-}2 - 2k
    \end{cases},\quad\text{avec } k \in \mathbb{R}.
  \]

  Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants~:

  \begin{Centrage}
    \begin{CalculFormelGeogebra}[Largeur=12]
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily (-2/3-1)*(-2)+(10/3-2)*1+(4/3-(-1))*(-2)}{\ttfamily\textrightarrow~~0}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily Résoudre système(-2k=-2/3, 3+k=10/3, 2-2k=4/3)}{\ttfamily\textrightarrow~~k=-1/3}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily (-2/3-1)\^{}2+(10/3-2)\^{}2+(4/3+1)\^{}2}{\ttfamily\textrightarrow~~RacineCarrée(10)}
      \LigneCalculsGeogebra{\ttfamily RacineCarrée((-2-0)\^{}2+(4-3)\^{}2+(0-2)\^{}2)}{\ttfamily\textrightarrow~~3
      }
    \end{CalculFormelGeogebra}
  \end{Centrage}

  \begin{enumerate}
    \item En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
    \item En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

    On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}