%bac2026gen-poly-juin-sujet2-exo2.tex
\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.}

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\textbf{Partie A}

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On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $f(x) = \ln(8x^3 - 1)$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervFF{4}{10}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
  \item Montrer pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a :
  \[
    f'(x) = \frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.
  \]

  \item
  \begin{enumerate}
    \item En déduire que $f$ est croissante sur $\intervFF{4}{10}$.
    \item Montrer que, pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a :
    \[
      4 \leqslant f(x) \leqslant 10.
    \]
  \end{enumerate}

  \item On définit la fonction $g$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $g(x) = f(x) - x$.

  On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que, sur l'intervalle $\intervFF{4}{10}$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
    \item Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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On admet qu'on peut définir la suite $\suiten[u]$ par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

\begin{enumerate}
  \item Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
    \[
      4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10.
    \]
    \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ converge.
  \end{enumerate}

  \item Montrer que la suite $\suiten[u]$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \leqslant \alpha \leqslant 8{,}5$.

On a créé, en langage \textsf{Python}, la fonction \texttt{alpha} suivante.

On précise qu'en langage \textsf{Python}, l'instruction \texttt{log} correspond à $\ln$.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def f(x) :
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a) :
    n = 0
    u = 5
    while u < a :
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n
\end{CodePythonLstAlt}

\begin{enumerate}
  \item On admet que \texttt{alpha(8.499)} renvoie la valeur $11$.

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  \item Un utilisateur exécute \texttt{alpha(8.6)}.

  Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.
\end{enumerate}