%bac2026gen-poly-juin-sujet2-exo3.tex
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\Rijk$, on considère les points $A(-1;1;1)$, $B(1;-6;-1)$ et $C(-5;2;3)$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne :
    \[
      6x - 2y + 13z - 5 = 0.
    \]
  \end{enumerate}

  \item On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$.

  On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

  Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.

  \item Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est :
  \[
    \begin{cases}
      x = -4 + t \\
      y = -11 + 6t \\
      z = 2 - t
    \end{cases}
    \quad ; \quad t \in \mathbb{R}.
  \]

  Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan $(ABC)$ en un unique point qu'on nommera $E$, et qui a pour coordonnées $E(-3;-5;1)$.

  \item Soit $H(-2;1;0)$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
    \item En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$.
    \item Montrer que le triangle $AHE$ est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}