%bac2026gt-obli-ag-juin-sujet1-exo2
Dans un lycée, on peut s'inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives.

On constate que :
\begin{itemize}
  \item $40\,\%$ des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ;
  \item parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, $20\,\%$ ont aussi choisi des activités sportives ;
  \item parmi les élèves n'ayant pas choisi des activités artistiques, $40\,\%$ ont choisi des activités sportives.
\end{itemize}

Parmi l'ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard.

On note les événements suivants :

$A$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité artistique \fg{} ; \quad $S$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité sportive \fg.

\textit{Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'événement $F$.}

\begin{enumerate}
  \item Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}(S)$.

  \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $A$/${0,4}$/,
    $S$/\numdots/,
    $\overline{S}$/\numdots/,
    $\overline{A}$/\numdots/,
    $S$/\numdots/,
    $\overline{S}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Calculer $P(A \cap S)$ et $P(\overline{A} \cap S)$.

  On admet que $P(S) = 0{,}32$.

  \item Calculer $P_S(A)$. Interpréter la réponse.

  \item Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}