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On compte le nombre d'arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.

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\textbf{Partie A -- Première forêt}

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Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,200$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $100$ par an.

On modélise cette évolution par la suite $\suiten$ où $u_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$.

Ainsi on a $u_0 = 1\,200$.

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter $u_2$ dans le contexte de l'exercice.
  \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$. En déduire la nature de la suite $\suiten$ et préciser sa raison $r$.
  \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  \item D'après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de $2\,950$ arbres ?
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B -- Seconde forêt}

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Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,000$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $5\,\%$ par an.

On modélise cette évolution par la suite $\suiten[v]$ où $v_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$.

Ainsi on a $v_0 = 1\,000$.

\begin{enumerate}
  \item Calculer le nombre d'arbres au $1^{\text{er}}$ janvier 2011.
  \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison $r$.
  \item D'après ce modèle, on estime qu'au $1^{\text{er}}$ janvier 2030, il y aura environ $2\,653$ arbres sur la parcelle. Quel terme de la suite a-t-on calculé ? Quel a été le calcul effectué ?
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C -- Comparaison des évolutions}

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Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d'arbres arrondi à l'unité dans les deux forêts.

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\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={*{10}{Q[1.125cm,c,m]}}}
  $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & \ldots & 26 & 27 & 28 & \textbf{29} \\
  $u_n$ & 1\,200 & 1\,300 & 1\,1400 & 1\,500 & \ldots & 3\,800 & 3\,900 & 4\,000 & \textbf{4\,100} \\
  $v_n$ & 1\,000 & 1\,050 & 1\,103 & 1\,158 & \ldots & 3\,556 & 3\,733 & 3\,920 & \textbf{4\,116} \\
\end{tblr}
\hfill\null

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Interpréter dans le contexte de l'exercice les résultats de la dernière ligne.