%bac2026gt-obli-all-janvier-sujet2-exo2.tex
On étudie la croissance d'une population de champignons.

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

Au début de l'expérience, on dispose de 100 champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\hfill
\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}}
	{Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\
	0 & 100 \\
	10 & 125 \\
	20 & 150 \\
	30 & 175 \\
\end{tblr}
\hfill\null
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\hfill
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.08cm,Xmin=0,Xmax=40,Xgrille=10,Xgrilles=2,y=0.016cm,Ymin=0,Ymax=200,Ygrille=50,Ygrilles=10]
	\TracerAxesGrilles[Police=\scriptsize]{0,10,20,30}{0,50,100,150}
	\draw (\pflxmax,0) node[above left,align=left,font=\tiny\bfseries] {temps écoulé\\(en minutes)} ;
	\draw (0,\pflymax) node[below right,align=left,font=\tiny\bfseries] {nombre de\\champignons} ;
	\MarquerPts*{(0,100),(10,125),(20,150),(30,175)}
\end{GraphiqueTikz}
\hfill\null
\end{minipage}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_{n}$ le nombre de champignons après $n$ périodes de \textbf{dix} minutes. Ainsi $u_{0}=100$, $u_{1}=125$, $u_{2}=150 \ldots$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que les termes $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ sont en progression arithmétique.
	\item En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience.
\end{enumerate}

\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm]
\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}}
	{Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\
	0 & 100 \\
	40 & 200 \\
	80 & 400 \\
	120 & 800 \\
\end{tblr}
\end{wrapstuff}

\textbf{Partie B.}

\medskip

En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé 80 minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants.

\smallskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ le nombre de champignons, après $n$ périodes de quarante minutes. Ainsi $v_{0}=100$, $v_{1}=200$, $v_{2}=400 \ldots$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que les termes $v_{0}$, $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$ sont en progression géométrique.
	\item On suppose que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2.

	Indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $\left(v_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{Centrage}
	\begin{tikzpicture}
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
		\PlacerPoints*{(0.5,0.1),(1,0.2),(1.5,0.3),(2,0.5),(2.5,1),(3,1.9)}
		\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 1}
	\end{tikzpicture}
	~~
	\begin{tikzpicture}
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
		\PlacerPoints*{(0.1,0.3),(0.2,0.5),(0.45,0.8),(0.9,1),(1.8,1.3),(3.5,1.6)}
		\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 2}
	\end{tikzpicture}
	~~
	\begin{tikzpicture}
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
		\PlacerPoints*{(0.5,0.25),(1,0.5),(1.5,0.75),(2,1),(2.5,1.25),(3,1.5)}
		\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 3}
	\end{tikzpicture}
	~~
	\begin{tikzpicture}
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
		\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
		\PlacerPoints*{(0.5,1.9),(1,1),(1.5,0.65),(2,0.45),(2.5,0.4),(3,0.3)}
		\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 4}
	\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-5mm]
\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3cm,Inclinaison=2.5,Attache=Non,AlignementH=center]
{\scriptsize\sffamily\bfseries Aide au calcul}

\vspace*{1mm}

{\scriptsize\begin{tabular}{l}
	$2^{6}=64$ \\
	$2^{7}=128$ \\
	$2^{8}=256$ \\
	$2^{9}=512$ \\
	$2^{10}=\num{1024}$
\end{tabular}}%
\vspace*{-3mm}
\end{PostIt}
%\begin{tblr}{hlines,vlines,cells={font=\scriptsize},colspec={c}}
%	{Aide au calcul \\ $2^{6}=64$ \\ $2^{7}=128$ \\$2^{8}=256$ \\$2^{9}=512$ \\$2^{10}=\num{1024}$}
%\end{tblr}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}[resume]
	\item Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ?
	\item Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ \num{18000} champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi?
\end{enumerate}