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Victor sort un plat du four. La température du plat est alors égale à $180^{\circ}\mathrm{C}$. Il place ce plat dans une pièce dont la température est égale à $25^{\circ} \mathrm{C}$.

Le plat refroidit. Le plat ne pourra être servi que lorsque sa température sera devenue inférieure ou égale à $40^{\circ} \mathrm{C}$.

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On étudie le refroidissement du plat selon deux modèles mathématiques.

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\textbf{Partie A : Premier modèle.}

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On suppose que la baisse de la température du plat est proportionnelle à la durée du refroidissement, c'est-à-dire au nombre de minutes écoulées depuis la sortie du four.

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On constate que 3 minutes après la sortie du four, la température du plat est égale à $105^{\circ} \mathrm{C}$.

\begin{enumerate}
	\item De combien de degrés le plat a-t-il baissé en 3 minutes ? En 1 minute ?
	\item Vérifier que la température du plat, 5 minutes après la sortie du four, est égale à $55^{\circ} \mathrm{C}$.
	\item Selon ce modèle, quelle serait la température du plat, 8 minutes après la sortie du four? Ce premier modèle semble-t-il pertinent ?
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Second modèle.}

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On dispose toujours des données suivantes :

\begin{itemize}
	\item la température de la pièce est égale à $25^{\circ} \mathrm{C}$ ;
	\item la température du plat à la sortie du four est égale à $180^{\circ} \mathrm{C}$ ;
	\item la température du plat, 3 minutes après la sortie du four, est égale à $105^{\circ} \mathrm{C}$.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$ on note $U_{n}$, la différence entre la température du plat et la température de la pièce, $n$ minutes après la sortie du four.

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\underline{Exemple} : 3 minutes après la sortie du four, l'écart avec la température de la pièce est égal à $105-25=80$. On a donc $U_{3}=80$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $U_{0}=155$.
	\item On suppose que chaque minute la différence $U_{n}$ diminue de $20\,\%$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1}=0,8 U_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ et donner sa raison.
		\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On dispose des données suivantes :

\begin{Centrage}
	\begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]*{13}{X[m,c]}}}
		$n$ & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
		{$U_{n}$\\Arrondi à $10^{-1}$.} & 80 & 64 & 51,2 & 41 & 32,8 & 26,2 & 21 & 16,8 & 13,4 & 10,7 & 8,6 & 6,9 & 5,5 \\
	\end{tblr}
\end{Centrage}

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Au bout de combien de minutes, Victor pourra-t-il servir le plat ?