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Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique.

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\textbf{Partie A -- Gain d'expérience}

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Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne $80$ points d'expérience.

Quand vous commencez, votre personnage est au niveau $0$ et a $20$ points d'expérience.

\begin{enumerate}
  \item Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau $1$ ?
  \item Montrer que, quand votre personnage est au niveau $10$, il a plus de $800$ points d'expérience.
  \item À quel niveau votre personnage est-il s'il a $2\,020$ points d'expérience ? \textit{Justifier par un calcul.}
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B -- Gain d'énergie magique}

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À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau $0$, le monstre neutralisé permet de récupérer $10$ centilitres (cl) de potion magique.

À chaque niveau, cette quantité augmente de $20\,\%$ par rapport au niveau précédent.

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\begin{wrapstuff}[r]
{\small \begin{tabular}{|c|c|}
  \hline
  \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Aide aux calculs}} \\
  \hline
  $1{,}2^2$  & $1{,}44$       \\
  $1{,}2^3$  & $1{,}728$      \\
  $1{,}2^4$  & $2{,}0736$     \\
  $1{,}2^5$  & $2{,}48832$    \\
  $1{,}2^6$  & $2{,}985984$   \\
  $1{,}2^7$  & $3{,}5831808$  \\
  $1{,}2^8$  & $4{,}29981696$ \\
  $1{,}2^9$  & $5{,}15978035$ \\
  $1{,}2^{10}$ & $6{,}19173642$ \\
  $1{,}2^{11}$ & $7{,}43008371$ \\
  \hline
\end{tabular}}
\end{wrapstuff}

\textit{Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.}

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Soit $n$ un entier naturel.

On note $v_n$ la quantité de potion magique (en cl) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau $n$.

\begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi $v_0 = 10$.
  \item Justifier que $v_{n+1} = 1{,}2\,v_n$ pour tout entier naturel $n$.
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison.
  \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $v_5 \approx 25$.
    \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
  \item À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle $0{,}6$ litre ?
\end{enumerate}