%bac2026gt-obli-fr-juin-sujet1-exo3
En 2025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de $20\,000$~€. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à $22\,000$~€. Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.

\medskip

Ils ont le choix entre deux placements.

\medskip

\textbf{A -- Premier placement}

\medskip

Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de $200$~€ par rapport au capital de l'année précédente.

On note $a_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $a_0 = 20\,000$.

\begin{enumerate}
  \item Calculer $a_1$ et $a_2$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ pour tout entier naturel $n$.
    \item En déduire la nature de la suite $\suiten[a]$. Préciser sa raison.
  \end{enumerate}
  \item Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  \item À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B -- Second placement}

\medskip

Avec le placement B, le capital augmente chaque année de $2\,\%$ par rapport au capital de l'année précédente.

On note $b_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $b_0 = 20\,000$.

\begin{enumerate}
  \item Détailler le calcul qui permet d'obtenir $b_1 = 20\,400$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ pour tout entier naturel $n$.
    \item En déduire la nature de la suite $\suiten[b]$. Préciser sa raison.
  \end{enumerate}
  \item Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  \item Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l'euro près. Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

  \medskip

  \hfill%
  \begin{tikzpicture}
    \tableur*[12]{A/2cm,B/2cm}
    \colonnetxt*[align=center]{A}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
    \colonnetxt*[align=center]{B}{$b_n$,20\,000,20\,400,20\,808,21\,224,21\,649,22\,082,22\,523,22\,974,23\,433,23\,902,24\,380}
  \end{tikzpicture}%
  \hfill\null
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C -- Bilan}

\medskip

Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu'ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.