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Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre $0$ et $50$ litres de cette eau florale.

Chaque litre d'eau florale est vendu $70$~€.

\smallskip

Le coût de production, en euros, de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est $C(x) = x^2 + 20x + 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer le coût de production de $10$ litres d'eau florale.
  \item On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant au prix de vente de $x$ litres d'eau florale. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

Le bénéfice, en euros, pour la production et la vente de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $B$. Son expression est obtenue en soustrayant le coût de production de la recette :
\[
  B(x) = R(x) - C(x)
\]
où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.

\begin{enumerate}[resume]
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $B(x) = -x^2 + 50x - 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.
    \item Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
    \item Déterminer le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[0;50]$.
    \item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;50]$. Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.
    \item En déduire le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
  \end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que $B(x) = (x - 10)(40 - x)$.
    \item Étudier le signe de $(x - 10)(40 - x)$ sur l'intervalle $[0;50]$ (on pourra utiliser un tableau de signes).
    \item En déduire les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}