%bac2026gt-obli-poly-juin-sujet1-exo2
Deux entreprises A et B souhaitent réduire leurs déchets plastiques.
\begin{itemize}
  \item L'entreprise A réduit ses déchets de $15$ tonnes chaque année. Elle produit $500$ tonnes de déchets en 2020.
  \item L'entreprise B réduit ses déchets de $8\,\%$ chaque année. Elle produit $600$ tonnes de déchets en 2020.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a représenté ci-dessous les quantités annuelles estimées de déchets plastiques des entreprises A et B entre 2020 et 2030, en prenant l'année 2020 comme année de rang 0.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.0075cm,Xmin=0,Xmax=10.5,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=710,Ygrille=100,Ygrilles=100]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,10}{0,100,...,700}
  \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=above left]{(10.5,0)}{Quantité de déchets (en tonnes)}
  \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=below right]{(0,710)}{Rang de l'année}
  \foreach \n in {0,...,10}{
    \MarquerPts*[Style=x,Couleur=blue,Taillex=2.5pt]{(\n,{500-15*\n})}
    \MarquerPts*[Style=o,Couleur=red]{(\n,{600*0.92^\n})}
  }
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la quantité de déchets produits par l'entreprise A est représentée par les points marqués d'une croix.
  \item Déterminer graphiquement à partir de quelle année l'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A.
  \item L'entreprise A atteindra-t-elle son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques en 2030 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
  \item On note $u_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise A lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_0 = 500$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Justifier que la suite $\suiten$ est arithmétique. Préciser sa raison.
  \end{enumerate}

  On a utilisé un tableur pour calculer les termes de la suite $\suiten$. Un extrait de la feuille de calcul est donné ci-dessous.

  \medskip

  \hfill%
  \storewidthtolength[4mm]{Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)}{\pastableurcolC}%
  \begin{tikzpicture}
    \tableur*[23]{A/1.5cm,B/1.8cm,C/\pastableurcolC}
    \celfusion[width=\pastableurcolC+3.2cm,align=center]{A-1}{C-1}{Déchêts produtis par l'entreprise A}
    \celtxt*[align=center]{A}{2}{$\strut$Année}
    \celtxt*[align=center]{B}{2}{$\strut$Rang $n$}
    \celtxt*[align=center,width=\pastableurcolC]{C}{2}{$\strut$Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)}
    \colonnetxt*[align=center]{A}<3>{2020,2021,2022,2023,2024,2025,2026,2027,2028,2029,2030,2031,2032,2033,2034,2035,2036,2037,2038,2039,2040}
    \colonnetxt*[align=center]{B}<3>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
    \colonnetxt*[align=center]{C}<3>{500,485,470,455,440,425,410,395,380,365,350,335,320,305,290,275,260,245,230,215,200}
  \selecCell{C}{4}
  \end{tikzpicture}%
  \hfill\null

  \begin{enumerate}[resume]
    \item Dans la cellule \textsf{C4}, quelle formule doit-on saisir puis recopier vers le bas, afin d'obtenir les termes de la suite $\suiten$ ?
    \item Déterminer au bout de combien d'années l'entreprise A atteindra son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques.
  \end{enumerate}

  \item On note $v_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise B lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_0 = 600$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}92\,v_n$.
    \item La suite $\suiten[v]$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.
    \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \item Au bout de combien d'années l'entreprise B aura-t-elle atteint son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques ? Justifier votre réponse à l'aide du tableau ci-dessous.
  \end{enumerate}

  \medskip

  \hfill%
  \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.925\linewidth,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
    $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\
    $0{,}92^n$ (arrondi au centième) & $0{,}92$ & $0{,}85$ & $0{,}78$ & $0{,}72$ & $0{,}66$ & $0{,}61$ & $0{,}56$ & $0{,}51$ & $0{,}47$ & $0{,}43$ \\
  \end{tblr}%
  \hfill\null
\end{enumerate}