%bac2026gt-obli-poly-juin-sujet1-exo4
\begin{tcolorbox}[width=0.7\linewidth,colframe=gray,colback=gray!5]
\textbf{Aide au calcul pour cet exercice :} $8^3 = 512$ ; $12 \times 8^2 = 768$
\end{tcolorbox}

\medskip

Dans une ville, l'évolution d'une épidémie en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaines depuis le début de l'épidémie, est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;12]$. Pour tout nombre réel $x$ compris entre $0$ et $12$, $f(x)$ désigne le nombre de malades observés à l'instant $x$.

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est donnée dans le repère du plan ci-dessous.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.025cm,Xmin=0,Xmax=13,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=280,Ygrille=40,Ygrilles=8]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small,Elargir=2.5mm]{0,1,...,13}{0,40,...,280}
  \PlacerTexte[Couleur=black,Police=\small,Position=below right]{(0,280)}{Nombre de malades}
  \PlacerTexte[Couleur=black,Police=\small,Position=below left]{(13,-15)}{Temps écoulé (en semaines)}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0,Fin=12]{-x^3+12*x^2+4}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(6.5,250)}{$\mathcal{C}_f$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Lecture graphique
  \begin{enumerate}
    \item Avec la précision permise par le graphique, lire $f(5)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Déterminer graphiquement la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie. Avec la précision permise par le graphique, déterminer le nombre de malades cette semaine-là.
  \end{enumerate}

  \item On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie par :
  \[
    f(x) = -x^3 + 12x^2 + 4.
  \]
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $f(1)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;12]$, $f'(x) = 3x(-x + 8)$.
    \item Compléter le tableau suivant :

    \begin{Centrage}
      \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=7.5]{$x$/0.8,Signe de $3x$/0.8,Signe de $(-x+8)$/0.8,Signe de $f'(x)$/0.8,Variations de $f$/1.5}{$0$,$12$}
      \end{tikzpicture}
    \end{Centrage}
    \item Déterminer la valeur exacte du nombre de malades la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}