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On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.

On désigne par le terme \textit{JEUNE} un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme \textit{ABONNÉ} un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d'établir les résultats suivants :
\begin{itemize}
  \item $60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ;
  \item parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ;
  \item parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes.
\end{itemize}

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

$A$ : \og le spectateur est abonné \fg{} ; \quad $J$ : \og le spectateur est jeune \fg.

\begin{enumerate}
  \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

  \medskip

  \def\ArbreExoDeux{
    $A$/\numdots/,
    $J$/\numdots/,
    $\overline{J}$/\numdots/,
    $\overline{A}$/\numdots/,
    $J$/\numdots/,
    $\overline{J}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoDeux}
  \end{Centrage}

  \item Calculer la probabilité $P(A \cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

  \item Démontrer que $P(J) = 0{,}32$.

  \item On considère l'affirmation suivante :

  \og \textit{Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné.} \fg

  Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

  \item Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
  \begin{itemize}
    \item un spectateur non abonné paie sa place $5$~euros, quel que soit son âge ;
    \item un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place $2$~euros ;
    \item un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
  \end{itemize}

  On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.

  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}