%bac2026gt-spec-all-janvier-sujet1-exo2.tex
On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $\Rij$.

\begin{Centrage}
	\begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.5cm]
		\draw[thick,->,>=latex] (-0.75,0)--(5.25,0) ;
		\draw[thick,->,>=latex] (0,-0.75)--(0,5.25) ;
		\draw (0,0) node[below left] {$O$} ;
		\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
		\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\vect{\jmath}$} ;
		%tkz-euclide
		\tkzDefPoints{4/3/I,1.92/1.44/H,0/4/C}
		\tkzMarkRightAngle[draw=green!50!black,fill=green!20,size=.35](I,H,C)
		%bak to normal
		\draw[ultra thick,red] (2,2) circle[radius=0.5] ;
		\draw (4,0) node[below,font=\footnotesize] {$4$} ;
		\draw (0,4) node[left,font=\footnotesize] {$4$} ;
		\draw[ultra thick,darkgray] (0,0) rectangle (4,4) ;
		\draw[ultra thick,darkgray] (0,4)--(1.92,{0.75*1.92})--(4,3) ;
		\filldraw (4,0) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$A$} (4,4) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$B$} (4,3) circle[radius=2.25pt] node[right] {$I$} (0,4) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$C$} (1.92,{0.75*1.92}) circle[radius=3pt] node[below] {$H$} ;
		\filldraw[blue] (2,2) circle[radius=2.25pt] ;
	\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

On dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
	\item le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4 ;
	\item on a $A(4; 0)$, $B(4; 4)$, $C(0; 4)$, $I(4; 3)$ ;
	\item le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$ ;
	\item on note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D(2; 2)$ et de rayon $0,5$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{OI}$ et $\vect{OC}$.
		\item En déduire le produit scalaire $\vect{OI} \cdot \vect{OC}$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le produit scalaire $\vect{OI} \cdot \vect{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
		\item Calculer la longueur $OI$.
		\item En déduire que $OH = 2,4$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.
		\item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est : \[ x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7,75 = 0. \]
		\item Le point $M(1,5; 2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}