%bac2026gt-spec-all-janvier-sujet1-exo3.tex
On se place dans un repère $\Rij$ orthogonal.

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^{2} - 5x + 4$. On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
		\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.

		On note $A_{n}$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.

		On note $a_{n}$ le coefficient directeur de la droite $(A_{n}A_{n+1})$.

		Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n} = 2n - 4$.
		\item Quelle est la nature de la suite $(a_{n})$ ?
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5; 8]$ par \[ f(x) = x - 5 + \frac{4}{x}. \]
	%
	On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle $[0,5; 8]$ on a $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.
		\item À l'aide de la question \textbf{1.a.}, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0,5; 8]$. Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5; 8]$ on a : \[ f'(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^{2}}. \]
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5; 8]$.
		\item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \textbf{2.b.} et \textbf{2.d.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}