%bac2026gt-spec-all-janvier-sujet2-exo2.tex
En 2020, une ville comptait \num{10000} habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_{n})$ définie ainsi : \[ \begin{cases} u_{n+1}=1,08 u_{n}-300,~n \in \N \\ u_{0}=\num{10000} \end{cases}~;\]
%
où $u_{n}$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.

\begin{enumerate}
	\item Indiquer ce que représente $u_{1}$ et calculer sa valeur.
	\item On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-\num{3750}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $v_{0}$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=1,08 v_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}=\num{6250} \times 1,08^{n}+3750$.
	\end{enumerate}
	\item Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule \AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{B2} :

	\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-5mm]
		\begin{tikzpicture}[scale=0.875,transform shape]
			\tableur*[21]{A/1cm,B/3cm}
			\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{A}{1}{n}
			\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
			\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{B}{1}{Un}
			\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{10000,10500,11040,{11623,2},{12253,056},{12933,30048},{13667,96452},{14461,40168},{15318,31381},{16243,77892},{17243,28123},{18322,74373},{19488,56323},{20747,64829},{22107,46015},{23576,05696},{25162,14152},{26875,11284},{28725,12187},{30723,13162}}
		\end{tikzpicture}
	\end{wrapstuff}

	\hfill\AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{=6250*1,08\textasciicircum{}A2+3750}\hfill\null

	La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \num{19000} habitants.

	La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.
\end{enumerate}

\vspace*{4cm}

\underline{\textbf{Aide au calcul}} :

$\num{10000}-\num{3750}=\num{6250}$ ;

$1,08 \times \num{4050} = \num{4374}$ ;

\smallskip

$\dfrac{\num{4050}}{\num{1.08}} = \num{3750}$ ;

\smallskip

$\num{3750} \times 1,08 = \num{4050}$.